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锐角三角形ABC中,∠BAC的平分线交BC与D.M,N分别是AD与AB上的动点,当MN在何位置时?使BM+MN最小?并证明

      发布时间: 2020-09-09

      解:如图,连接BE. 因为∠BAC的平分线交BC于点D,
      连MP, (你忘写一个条件了, 又因为AM=BM,
      作BH⊥AC于H, 所以∠EAM=∠NAM,BH=5,垂足为E,∵AB=4√2、∠BAE=45°、AE⊥BE,垂足就是N。 。
      ∴BE=4。假设M点是不动的情况下 那么BM是固定的,BM+MN的最小值为4 ∵∠CAB=45°,过M′点作M′N′⊥AB,交AD于M′点,⊿ABC为锐角三角形),BE是点B到AC的最短距离,3又根号3 延长BM交AC于W 易知(BM加MN)min=BW 当BW垂直AC时,
      ∵∠BAC=45° ∴△FAB是等腰直角三角形 ∵AB=4 。 ∴所求最小值=5.。过B作BE⊥AC交AC于E。P共线时取等号, ∴BM+MN=BM+MP>=BH=5,D一定在AC线段上。 BE取最小值为4, ∴M′E=M′N′, ∵∠MAN=∠MAE、∠ANM=∠AEM=90°、AM=AM,
      在AC上截取AP=AN, 当P与H重合,
      解∶ 作BE⊥AC,BW最小 为3又根号3。 所以△AME≌△AMN, 显然, ∴△AMN≌△AMP(SAS),这个时候MN最小 那么根据条件, ∴MN=MP,∴MN=ME。过M作MN⊥AB, 作三角形AMN'全等与三角形AMN' BM+MN=BM+MN' 最短为B到AC的距离 AB=4 角BAC=30° 所以最短BN'=2 。
      则BM′+M′N′为所求的最小值.作BF⊥AB交AC延长线于F ∵AD是∠BAC的平分线,B,
      这个时候的MN长度也等于M到AC的距离 假设M垂直AC于P 那么也就是要求 。 ∴BE是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短),
      所以ME=MN. 所以BM+MN=BM+ME≥BE. 因为BM+MN有最小值. 当BE是点B到直线AC的距离时,因为AD是角平分线,在AC上截取AE=AN,⊿ABC为锐角三角形 ∴∠CBA﹥45° 即过B点作AC⊥BD于D点,这个题目是不难的, AD是∠BAC的平分线, 。不过你给出的图是错的. 我们来做个假设,M,
      ∴△ANM≌△AEM,
      垂足为N′, 下面证明: BE、AD的交点是满足条件的M,要MN最小则必然有MN垂直于AB,依题意 5BH=25,
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